超声波转环体的考量预设

　　超声波变幅杆的主要参量变截面杆的纵振动超声波变幅杆简单、常用的类型有：圆锥形、指数形、悬链线形和阶梯形等。这类变幅杆称为单一变幅杆。超声波变幅杆的性能可以用许多参量来描述，在实际应用中常用的是：共振频率（共振长度），放大系数，形状因素等［1］。

　　考虑由均匀、各向同性材料所构成的变截面杆，不计及机械损耗，并设平面纵波沿杆轴方向传播，即在杆的截面上应力分布是平衡的［1］。1为一变截面杆，其对称轴为坐标轴x，作用在小体积元（x，x＋dx所限定的区间）上应力为σxdx，根据牛顿定律可以写出动力学方程为：（S，σ）xdx＝S

　　ρ2ξt2dx（1）其中，S＝S（x）为杆的截面函数，ξ＝ξ（x）为质点位移函数，σ＝σ（x）＝Eξx为应力函数，σ为杆件材料的密度，E为杨氏模量。

　　在简谐振动的情况下，式（1）可写成：2ξx2＋1SSxξx＋κ2ξ＝0（2）式（2）就是变截面杆纵振动的波动方程，其中κ2＝ω2／c2，κ为圆波数，ω为圆频率，c＝（E／ρ）12为纵波在细棒中的传播速度。

　　下面利用公式（2）对指数形、圆锥形、悬链线形和阶梯形的半波长变幅杆推导出常用参量［1，3］。

　　指数形半波谐振变幅杆2为指数形变幅杆。（1）频率方程和谐振长度面积函数为：S＝S1e－2βxβ＝1lln（S1／S2）12＝1lln（R1／R2）＝1llnNN＝（S1／S2）12＝R1／R2其中，β为形状系数；N为面积系数；S为变截面面积；S1为大端面面积；x为变量。

　　频率方程为：sink＇l＝0，k＇l＝π（3）其中k＇＝（k2－β2）12；l为半波谐振长度。（2）位移节点：x0：x0＝1πarccot（lnNπ）（4）（3）放大系数MP：MP＝eβl＝N（5）（4）形状因素应变极大值方程：tg（k＇xM）＝－k＇β（6）形状因素为：＝Nk＇βe－βxM1sin（k＇xM）（7）圆锥形半波谐振变幅杆为圆锥形变幅杆。

　　悬链线形半波谐振变幅杆悬链线形变幅杆，如4所示。悬链线形变幅杆（1）频率方程和谐振长度频率方程为：tg（k0＇l）＝－rk0＇th（rl）（14）其中，k0＇＝（k2－r2）1／2（15）半波谐振长度为：lp＝λ2（k0＇l）2＋（arcchN）2π2

　　1／2（16）其中，k为波数；l为变幅杆长度变量；r2为小端面半径；N＝r1r2；λ为波长。

　　（2）位移节点x0：tg（k0＇x0）＝－k0＇rcth（rl）（17）（3）放大系数Mp：Mp＝Ncosk0＇l（18）（4）形状因素：

　　：＝2rkcos（k0＇l＋ψ）cos（k0＇xM＋ψ）shr（l－xM）（19）其中，tgψ＝rk0＇thrl（20）tg（k0＇xM＋ψ）＝rk0＇thr（l－xM）－12（rk0＇＋k0＇r）cthr（l－xM）（21）2.4阶梯形半波谐振变幅杆阶梯形变幅杆是由两段不同截面面积的均匀杆组成。如5所示。

　　形变幅杆（1）频率方程和谐振长度kl＝π，l＝λ／2（22）（2）位移节点x0：x0＝λ／4（23）（3）放大系数Mp：Mp＝S1S2＝N2（24）由于是近似分析，实际上得到的放大系数Mp要小于N2。

　　结论由前面的分析和计算可以看出：（1）当面积系数N相同时，阶梯形变幅杆的放大系数大，其次是悬链线形、指数形，小的是圆锥形。（2）指数形和圆锥形的谐振长度L随N的增大而增大。